Resolver 3x+2y=12,12=9x-8y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 8 y$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$9x-8y=12$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=12$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Ordeztu -\frac{2y}{3}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-8y=12).

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-8y=12$$

Egin 9 bider -\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-8y=12$$

Gehitu -6y eta -8y.

$$-14y+36=12$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-14y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=\frac{12}{7}$$

Ordeztu \frac{12}{7} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{7}+4$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{12}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{8}{7}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{8}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$9x-8y=12$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-8\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\times 12+\frac{1}{21}\times 12\\\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{14}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$9x-8y=12$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

3x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-8\right)y=3\times 12$$

Sinplifikatu.

$$27x+18y=108,27x-24y=36$$

Egin 27x-24y=36 ken 27x+18y=108 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27x-27x+18y+24y=108-36$$

Gehitu 27x eta -27x. Sinplifikatu egiten dira 27x eta -27x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y+24y=108-36$$

Gehitu 18y eta 24y.

$$42y=108-36$$

Gehitu 108 eta -36.

$$42y=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 42 balioarekin.

$$y=\frac{12}{7}$$

Ordeztu \frac{12}{7} y balioarekin 9x-8y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-8\times \frac{12}{7}=12$$

Egin -8 bider \frac{12}{7}.

$$9x-\frac{96}{7}=12$$

Gehitu \frac{96}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{180}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{20}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$