Resolver 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+10y=102$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-10y+102$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Ordeztu -\frac{10y}{3}+34 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=84).

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

Egin 3 bider -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+y=84$$

Gehitu -10y eta y.

$$-9y+102=84$$

Egin ken 102 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{10}{3}y+34 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

Egin -\frac{10}{3} bider 2.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

Gehitu 34 eta -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{82}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Egin 3x+y=84 ken 3x+10y=102 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-y=102-84$$

Gehitu 10y eta -y.

$$9y=102-84$$

Gehitu 102 eta -84.

$$9y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 3x+y=84 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2=84$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=82$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{82}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$