Resolver 3t^2-10t-20=0

$$3 t ^ { 2 } - 10 t - 20 = 0$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{\sqrt{85} + 5}{3} \approx 4.739848152$$

$$t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}\approx -1.406514819$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3t^{2}-10t-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Egin -10 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -20.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+240}}{2\times 3}$$

Gehitu 100 eta 240.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{340}}{2\times 3}$$

Atera 340 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{85}}{2\times 3}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$t=\frac{10±2\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6}$$

Orain, ebatzi t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 2\sqrt{85}.

$$t=\frac{2\sqrt{85}+10}{6}$$

Zatitu 10+2\sqrt{85} balioa 6 balioarekin.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3}$$

Orain, ebatzi t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{85} ken 10.

$$t=\frac{10-2\sqrt{85}}{6}$$

Zatitu 10-2\sqrt{85} balioa 6 balioarekin.

$$t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3} t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3t^{2}-10t-20=0$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3t^{2}-10t-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3t^{2}-10t=-\left(-20\right)$$

Egin -20 ken 0.

$$3t^{2}-10t=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3t^{2}-10t}{3}=\frac{20}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t=\frac{20}{3}$$

Zatitu -\frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9}=\frac{20}{3}+\frac{25}{9}$$

Gehitu \frac{20}{3} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9}=\frac{85}{9}$$

Atera t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{85}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{85}}{3} t-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{85}}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3} t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$