Resolver 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Ebatzi: q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3q^{2}+aq+bq+16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 48 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

-19 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-16 b=-3$$

Berridatzi 3q^{2}-19q+16 honela: \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Deskonposatu q lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Deskonposatu 3q-16 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3q-16=0 eta q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -19 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -19 ber bi.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Gehitu 361 eta -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

-19 zenbakiaren aurkakoa 19 da.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Orain, ebatzi q=\frac{19±13}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 19 eta 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Murriztu \frac{32}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$q=\frac{16}{3}$$

Orain, ebatzi q=\frac{19±13}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Zatitu 6 balioa 6 balioarekin.

$$q=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Zatitu -\frac{19}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{19}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{19}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{19}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Gehitu -\frac{16}{3} eta \frac{361}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Atera q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Gehitu \frac{19}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$