Resolver 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Ebatzi: p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3p^{2}+ap+bp+5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=-3$$

Berridatzi 3p^{2}-8p+5 honela: \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Deskonposatu p lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Deskonposatu 3p-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3p-5=0 eta p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -8 ber bi.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Gehitu 64 eta -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Atera 4 balioaren erro karratua.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Orain, ebatzi p=\frac{8±2}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Murriztu \frac{10}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$p=\frac{5}{3}$$

Orain, ebatzi p=\frac{8±2}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2 ken 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Zatitu 6 balioa 6 balioarekin.

$$p=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Zatitu -\frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Gehitu -\frac{5}{3} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Atera p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$