Resolver 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Ebatzi: n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3n^{2}+an+bn-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -45 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

-4 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=5$$

Berridatzi 3n^{2}-4n-15 honela: \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Deskonposatu 3n lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Deskonposatu n-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-3=0 eta 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 ber bi.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Gehitu 16 eta 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{4±14}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Zatitu 18 balioa 6 balioarekin.

$$n=3$$

Orain, ebatzi n=\frac{4±14}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Murriztu \frac{-10}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Zatitu 15 balioa 3 balioarekin.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Gehitu 5 eta \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Atera n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$