Resolver 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Ebatzi: n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Egin 5 ken -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 47 balioa b balioarekin, eta -237 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Egin 47 ber bi.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Gehitu 2209 eta 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -47 eta \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{5053} ken -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Gehitu 232 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

-232 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Egin -232 ken 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Zatitu 237 balioa 3 balioarekin.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Zatitu \frac{47}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{47}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{47}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{47}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Gehitu 79 eta \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Atera n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Egin ken \frac{47}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$