Resolver 3n^2+2n-21=0

$$3 n ^ { 2 } + 2 n - 21 = 0$$

Ebatzi: n

$$n=-3$$

$$n = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3n^{2}+an+bn-21 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=3\left(-21\right)=-63$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -63 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=9$$

Berridatzi 3n^{2}+2n-21 honela: \left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right).

$$\left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right)$$

Deskonposatu n lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$n\left(3n-7\right)+3\left(3n-7\right)$$

Deskonposatu 3n-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3n-7\right)\left(n+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3n-7=0 eta n+3=0.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta -21 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Egin 2 ber bi.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -21.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 3}$$

Gehitu 4 eta 252.

$$n=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-2±16}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$n=\frac{-2±16}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-2±16}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 16.

$$n=\frac{14}{6}$$

Murriztu \frac{14}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=\frac{7}{3}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-2±16}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken -2.

$$n=-\frac{18}{6}$$

Zatitu -18 balioa 6 balioarekin.

$$n=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}+2n-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}+2n=-\left(-21\right)$$

Egin -21 ken 0.

$$3n^{2}+2n=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3n^{2}+2n}{3}=\frac{21}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=\frac{21}{3}$$

Zatitu 21 balioa 3 balioarekin.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=7$$

Zatitu \frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Gehitu 7 eta \frac{1}{9}.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Atera n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$n+\frac{1}{3}=\frac{8}{3} n+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$