Resolver 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Ebatzi: n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 8 bi aldeetatik.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3n^{2}+an+bn-8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

10 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=12$$

Berridatzi 3n^{2}+10n-8 honela: \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Deskonposatu n lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Deskonposatu 3n-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3n-2=0 eta n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3n^{2}+10n=8$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Egin 10 ber bi.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Gehitu 100 eta 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-10±14}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Murriztu \frac{4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi n=\frac{-10±14}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Zatitu -24 balioa 6 balioarekin.

$$n=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3n^{2}+10n=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Zatitu \frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Atera n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$