Resolver 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Ebatzi: b

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3.936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1.270083225$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Egin -8 ber bi.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Gehitu 64 eta 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Atera 244 balioaren erro karratua.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Orain, ebatzi b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Zatitu 8+2\sqrt{61} balioa 6 balioarekin.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Orain, ebatzi b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{61} ken 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Zatitu 8-2\sqrt{61} balioa 6 balioarekin.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Zatitu 15 balioa 3 balioarekin.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Zatitu -\frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Gehitu 5 eta \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Atera b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$