Resolver 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Ebatzi: z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, z^{2}+az+bz+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=1 b=2$$

Berridatzi z^{2}+3z+2 honela: \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Deskonposatu z lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Deskonposatu z+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi z+1=0 eta z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta 6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Egin 9 ber bi.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Gehitu 81 eta -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Orain, ebatzi z=\frac{-9±3}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Zatitu -6 balioa 6 balioarekin.

$$z=-1$$

Orain, ebatzi z=\frac{-9±3}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Zatitu -12 balioa 6 balioarekin.

$$z=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=-1 z=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Zatitu 9 balioa 3 balioarekin.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Zatitu -6 balioa 3 balioarekin.

$$z^{2}+3z=-2$$

Zatitu 3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Gehitu -2 eta \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Atera z^{2}+3z+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=-1 z=-2$$