Resolver 3x^2-x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } -x-2=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-6 2,-3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=2$$

Berridatzi 3x^{2}-x-2 honela: \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 3}$$

Gehitu 1 eta 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 3}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±5}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{1±5}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±5}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 5.

$$x=\frac{6}{6}$$

Zatitu 6 balioa 6 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±5}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Murriztu \frac{-4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Egin -2 ken 0.

$$3x^{2}-x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{2}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Zatitu -\frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Gehitu \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$