Resolver 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-250 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -750 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-30 b=25$$

Berridatzi 3x^{2}-5x-250 honela: \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 25 bigarren taldean.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Deskonposatu x-10 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-10=0 eta 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -250 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Gehitu 25 eta 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Atera 3025 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±55}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Zatitu 60 balioa 6 balioarekin.

$$x=10$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±55}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 55 ken 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Murriztu \frac{-50}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Gehitu 250 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

-250 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Egin -250 ken 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Zatitu -\frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Gehitu \frac{250}{3} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$