Resolver 3x^2-5x-12=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-12=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=4$$

Berridatzi 3x^{2}-5x-12 honela: \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 3x+4=0.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-5x-12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 3}$$

Gehitu 25 eta 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 3}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±13}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{5±13}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±13}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 13.

$$x=\frac{18}{6}$$

Zatitu 18 balioa 6 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±13}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 5.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Murriztu \frac{-8}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-5x-12=0$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-5x=-\left(-12\right)$$

Egin -12 ken 0.

$$3x^{2}-5x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{12}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{12}{3}$$

Zatitu 12 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=4$$

Zatitu -\frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

Gehitu 4 eta \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$