Resolver 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0.833333333+3.157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0.833333333-3.157882554i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

Egin 10 ken 42.

$$3x^{2}-5x+32=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta 32 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

Gehitu 25 eta -384.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

Atera -359 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta i\sqrt{359}.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{359} ken 5.

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

42 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-5x=10-42$$

Egin 42 ken 10.

$$3x^{2}-5x=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Zatitu -\frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Gehitu -\frac{32}{3} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$