Resolver 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Gehitu 16 eta 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Atera 124 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Zatitu 4+2\sqrt{31} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{31} ken 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Zatitu 4-2\sqrt{31} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Zatitu 9 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Gehitu 3 eta \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$