Resolver 3x^2-4x+12=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x+12=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3}\approx 0.666666667+1.885618083i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}\approx 0.666666667-1.885618083i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-4x+12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta 12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\times 12}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-144}}{2\times 3}$$

Gehitu 16 eta -144.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-128}}{2\times 3}$$

Atera -128 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{4+8\sqrt{2}i}{6}$$

Zatitu 4+8i\sqrt{2} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i\sqrt{2} ken 4.

$$x=\frac{-8\sqrt{2}i+4}{6}$$

Zatitu 4-8i\sqrt{2} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-4x+12=0$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-4x+12-12=-12$$

12 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-4x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{12}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{12}{3}$$

Zatitu -12 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-4$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-4+\frac{4}{9}$$

Gehitu -4 eta \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{32}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{2}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{2}i}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$