Resolver 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-60 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -180 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-31 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-36 b=5$$

Berridatzi 3x^{2}-31x-60 honela: \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Deskonposatu x-12 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-12=0 eta 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -31 balioa b balioarekin, eta -60 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Egin -31 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Gehitu 961 eta 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Atera 1681 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 zenbakiaren aurkakoa 31 da.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{31±41}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 31 eta 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Zatitu 72 balioa 6 balioarekin.

$$x=12$$

Orain, ebatzi x=\frac{31±41}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 41 ken 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Murriztu \frac{-10}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Egin -60 ken 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Zatitu 60 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Zatitu -\frac{31}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{31}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{31}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{31}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Gehitu 20 eta \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Gehitu \frac{31}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$