Resolver 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2.097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1.430500874$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Gehitu 4 eta 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Atera 112 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Zatitu 2+4\sqrt{7} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{7} ken 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Zatitu 2-4\sqrt{7} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Zatitu 9 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Zatitu -\frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Gehitu 3 eta \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$