Resolver 3x^2-12x+11=0

$$3 { x }^{ 2 } -12x+11=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2\approx 2.577350269$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2\approx 1.422649731$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-12x+11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 11}}{2\times 3}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 11}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 11}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 3}$$

Gehitu 144 eta -132.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 3}$$

Atera 12 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 3}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±2\sqrt{3}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{6}$$

Zatitu 12+2\sqrt{3} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±2\sqrt{3}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{3} ken 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{6}$$

Zatitu 12-2\sqrt{3} balioa 6 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-12x+11=0$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-12x+11-11=-11$$

11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-12x=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-12x}{3}=-\frac{11}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)x=-\frac{11}{3}$$

Zatitu -12 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}-4x=-\frac{11}{3}$$

Zatitu -4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{11}{3}+\left(-2\right)^{2}$$

Egin -2 ber bi.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{11}{3}+4$$

Gehitu -\frac{11}{3} eta 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{1}{3}$$

Atera x^{2}-4x+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Sinplifikatu.

$$x-2=\frac{\sqrt{3}}{3} x-2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$