Resolver 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

-10 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=2$$

Berridatzi 3x^{2}-10x-8 honela: \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Deskonposatu x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-4=0 eta 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Gehitu 100 eta 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±14}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Zatitu 24 balioa 6 balioarekin.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±14}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Murriztu \frac{-4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Egin -8 ken 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Zatitu -\frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$