Resolver 3x^2+8x-3=65

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3.610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6.277465658$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Egin ken 65 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

65 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

Egin 65 ken -3.

$$3x^{2}+8x-68=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 8 balioa b balioarekin, eta -68 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Egin 8 ber bi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -68.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

Gehitu 64 eta 816.

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

Atera 880 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -8 eta 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

Zatitu -8+4\sqrt{55} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{55} ken -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

Zatitu -8-4\sqrt{55} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 65.

$$3x^{2}+8x=68$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

Zatitu \frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

Gehitu \frac{68}{3} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$