Resolver 3x^2+5x-1=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-1=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}\approx 0.180460422$$

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}\approx -1.847127088$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12}}{2\times 3}$$

Gehitu 25 eta 12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta \sqrt{37}.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{37} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$3x^{2}+5x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{1}{3}$$

Zatitu \frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{37}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{37}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{37}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{37}}{6}$$

Egin ken \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$