Resolver 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 138 bi aldeetatik.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx-138 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -414 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-18 b=23$$

Berridatzi 3x^{2}+5x-138 honela: \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 23 bigarren taldean.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Deskonposatu x-6 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-6=0 eta 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+5x=138$$

Egin ken 138 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

138 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -138 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Gehitu 25 eta 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Atera 1681 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±41}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Zatitu 36 balioa 6 balioarekin.

$$x=6$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±41}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 41 ken -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Murriztu \frac{-46}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+5x=138$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Zatitu 138 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Zatitu \frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Gehitu 46 eta \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Egin ken \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$