Resolver 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.190238071i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Gehitu 9 eta -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Atera -51 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Zatitu -3+i\sqrt{51} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{51} ken -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Zatitu -3-i\sqrt{51} balioa 6 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Zatitu 3 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Gehitu -\frac{5}{3} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$