Resolver 3x^2+14x-69

$$3 { x }^{ 2 } +14x-69$$

Faktorizatu

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 3x^{2}+ax+bx-69 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=14 ab=3\left(-69\right)=-207$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -207 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,207 -3,69 -9,23$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+207=206 -3+69=66 -9+23=14$$

14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=23$$

Berridatzi 3x^{2}+14x-69 honela: \left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 23 bigarren taldean.

$$3x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$3x^{2}+14x-69=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Egin 14 ber bi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -69.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+828}}{2\times 3}$$

Gehitu 196 eta 828.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

Atera 1024 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-14±32}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-14±32}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±32}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 32.

$$x=\frac{18}{6}$$

Zatitu 18 balioa 6 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±32}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 32 ken -14.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Murriztu \frac{-46}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu 3 x_{1} faktorean, eta -\frac{23}{3} x_{2} faktorean.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{3}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)$$

Gehitu \frac{23}{3} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\times \frac{3x+23}{3}$$

Deuseztatu 3 eta 3 balioen faktore komunetan handiena (3).

$$3x^{2}+14x-69=\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Ebaluatu

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$