Resolver 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1.833333333+2.153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1.833333333-2.153807997i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

-24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Egin -24 ken 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 11 balioa b balioarekin, eta 24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Egin 11 ber bi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Gehitu 121 eta -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Atera -167 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -11 eta i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{167} ken -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Zatitu -24 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Zatitu \frac{11}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Gehitu -8 eta \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Egin ken \frac{11}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$