Resolver 3n^2-n-574=0

$$3 { n }^{ 2 } -n-574 = 0$$

Ebatzi: n

$$n = -\frac{41}{3} = -13\frac{2}{3} \approx -13.666666667$$

$$n=14$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3n^{2}+an+bn-574 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=3\left(-574\right)=-1722$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -1722 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-1722 2,-861 3,-574 6,-287 7,-246 14,-123 21,-82 41,-42$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-1722=-1721 2-861=-859 3-574=-571 6-287=-281 7-246=-239 14-123=-109 21-82=-61 41-42=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-42 b=41$$

Berridatzi 3n^{2}-n-574 honela: \left(3n^{2}-42n\right)+\left(41n-574\right).

$$\left(3n^{2}-42n\right)+\left(41n-574\right)$$

Deskonposatu 3n lehen taldean, eta 41 bigarren taldean.

$$3n\left(n-14\right)+41\left(n-14\right)$$

Deskonposatu n-14 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(n-14\right)\left(3n+41\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-14=0 eta 3n+41=0.

$$n=14 n=-\frac{41}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3n^{2}-n-574=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -574 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-574\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-574\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -574.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+6888}}{2\times 3}$$

Gehitu 1 eta 6888.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{6889}}{2\times 3}$$

Atera 6889 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±83}{2\times 3}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$n=\frac{1±83}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$n=\frac{1±83}{6}$$

Orain, ebatzi n=\frac{1±83}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 83.

$$n=\frac{84}{6}$$

Zatitu 84 balioa 6 balioarekin.

$$n=14$$

Orain, ebatzi n=\frac{1±83}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 83 ken 1.

$$n=-\frac{82}{6}$$

Murriztu \frac{-82}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=-\frac{41}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=14 n=-\frac{41}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3n^{2}-n-574=0$$

Gehitu 574 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3n^{2}-n-574-\left(-574\right)=-\left(-574\right)$$

-574 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3n^{2}-n=-\left(-574\right)$$

Egin -574 ken 0.

$$3n^{2}-n=574$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3n^{2}-n}{3}=\frac{574}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=\frac{574}{3}$$

Zatitu -\frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{574}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{574}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu \frac{574}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{6889}{36}$$

Atera n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{6889}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6889}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{1}{6}=\frac{83}{6} n-\frac{1}{6}=-\frac{83}{6}$$

Gehitu \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=14 n=-\frac{41}{3}$$