Resolver 3^14x+2y=6,3x+6y=18

$$3 ^ { 14 } x + 2 y = 6,3 x + 6 y = 18$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4782969x+2y=6$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4782969x=-2y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4782969 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4782969}\left(-2y+6\right)$$

Egin \frac{1}{4782969} bider -2y+6.

$$x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}$$

Ordeztu -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+6y=18).

$$3\left(-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}\right)+6y=18$$

Egin 3 bider -\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}.

$$-\frac{2}{1594323}y+\frac{2}{531441}+6y=18$$

Gehitu -\frac{2y}{1594323} eta 6y.

$$\frac{9565936}{1594323}y+\frac{2}{531441}=18$$

Egin ken \frac{2}{531441} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9565936}{1594323}y=\frac{9565936}{531441}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9565936}{1594323} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{4782969}\times 3+\frac{2}{1594323}$$

Egin -\frac{2}{4782969} bider 3.

$$x=\frac{-2+2}{1594323}$$

Gehitu \frac{2}{1594323} eta -\frac{2}{1594323} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4782969\times 6-2\times 3}&-\frac{2}{4782969\times 6-2\times 3}\\-\frac{3}{4782969\times 6-2\times 3}&\frac{4782969}{4782969\times 6-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}&-\frac{1}{14348904}\\-\frac{1}{9565936}&\frac{1594323}{9565936}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}\times 6-\frac{1}{14348904}\times 18\\-\frac{1}{9565936}\times 6+\frac{1594323}{9565936}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

4782969x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4782969 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4782969x+3\times 2y=3\times 6,4782969\times 3x+4782969\times 6y=4782969\times 18$$

Sinplifikatu.

$$14348907x+6y=18,14348907x+28697814y=86093442$$

Egin 14348907x+28697814y=86093442 ken 14348907x+6y=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14348907x-14348907x+6y-28697814y=18-86093442$$

Gehitu 14348907x eta -14348907x. Sinplifikatu egiten dira 14348907x eta -14348907x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-28697814y=18-86093442$$

Gehitu 6y eta -28697814y.

$$-28697808y=18-86093442$$

Gehitu 18 eta -86093442.

$$-28697808y=-86093424$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -28697808 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 3x+6y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+6\times 3=18$$

Egin 6 bider 3.

$$3x+18=18$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=3$$