Resolver 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0.25+0.968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0.25-0.968245837i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

-4 lortzeko, 1 balioari kendu 5.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 16 bider -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 4 eta -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Atera -60 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Zatitu 2+2i\sqrt{15} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{15} ken 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Zatitu 2-2i\sqrt{15} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

4 lortzeko, 5 balioari kendu 1.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Murriztu \frac{-2}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Zatitu 4 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$