Resolver 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1.583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2.806082918$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 27 balioa a balioarekin, 33 balioa b balioarekin, eta -120 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Egin 33 ber bi.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Egin -4 bider 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Egin -108 bider -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Gehitu 1089 eta 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Atera 14049 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Egin 2 bider 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -33 eta 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Zatitu -33+3\sqrt{1561} balioa 54 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} ekuazioa ± minus denean. Egin 3\sqrt{1561} ken -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Zatitu -33-3\sqrt{1561} balioa 54 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Gehitu 120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Egin -120 ken 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 27 balioarekin.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

27 balioarekin zatituz gero, 27 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Murriztu \frac{33}{27} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Murriztu \frac{120}{27} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Zatitu \frac{11}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{18} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{18} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{18} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Gehitu \frac{40}{9} eta \frac{121}{324} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Egin ken \frac{11}{18} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$