Resolver 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 25x^{2}+ax+bx+16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 400 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

-40 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=-20$$

Berridatzi 25x^{2}-40x+16 honela: \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Deskonposatu 5x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, -40 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Egin -40 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Egin -100 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Gehitu 1600 eta -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

-40 zenbakiaren aurkakoa 40 da.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Murriztu \frac{40}{50} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Murriztu \frac{-40}{25} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Zatitu -\frac{8}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Gehitu -\frac{16}{25} eta \frac{16}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Atera x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Gehitu \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{4}{5}$$