Resolver 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 25x^{2}+ax+bx+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 25 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-25 -5,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

-10 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=-5$$

Berridatzi 25x^{2}-10x+1 honela: \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

Deskonposatu 5x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Gehitu 100 eta -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Murriztu \frac{10}{50} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25x^{2}-10x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Murriztu \frac{-10}{25} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

Zatitu -\frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Gehitu -\frac{1}{25} eta \frac{1}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

Atera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{1}{5}$$