Resolver 25x^2-90x+87=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+87=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}\approx 1.8+0.489897949i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}\approx 1.8-0.489897949i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, -90 balioa b balioarekin, eta 87 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

Egin -90 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 87}}{2\times 25}$$

Egin -100 bider 87.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8700}}{2\times 25}$$

Gehitu 8100 eta -8700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-600}}{2\times 25}$$

Atera -600 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

-90 zenbakiaren aurkakoa 90 da.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}$$

Orain, ebatzi x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 90 eta 10i\sqrt{6}.

$$x=\frac{90+10\sqrt{6}i}{50}$$

Zatitu 90+10i\sqrt{6} balioa 50 balioarekin.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} ekuazioa ± minus denean. Egin 10i\sqrt{6} ken 90.

$$x=\frac{-10\sqrt{6}i+90}{50}$$

Zatitu 90-10i\sqrt{6} balioa 50 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

Egin ken 87 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x^{2}-90x+87-87=-87$$

87 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25x^{2}-90x=-87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{87}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{87}{25}$$

Murriztu \frac{-90}{25} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{87}{25}$$

Zatitu -\frac{18}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{87}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-87+81}{25}$$

Gehitu -\frac{87}{25} eta \frac{81}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{6}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{6}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{6}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{6}i}{5}$$

Gehitu \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$