Resolver 25x^2-90x+77=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 25 balioa a balioarekin, -90 balioa b balioarekin, eta 77 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Egin -90 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Egin -4 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Egin -100 bider 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Gehitu 8100 eta -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Atera 400 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

-90 zenbakiaren aurkakoa 90 da.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Egin 2 bider 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Orain, ebatzi x=\frac{90±20}{50} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 90 eta 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Murriztu \frac{110}{50} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{11}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{90±20}{50} ekuazioa ± minus denean. Egin 20 ken 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Murriztu \frac{70}{50} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Egin ken 77 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

77 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

25 balioarekin zatituz gero, 25 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Murriztu \frac{-90}{25} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Zatitu -\frac{18}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Gehitu -\frac{77}{25} eta \frac{81}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Gehitu \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$