Resolver 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(4+x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 25 eta 16+8x+x^{2} biderkatzeko.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 7 eta 5-x biderkatzeko.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 35-7x eta 5+x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

575 lortzeko, gehitu 400 eta 175.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

18x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -7x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Kendu 295 bi aldeetatik.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

280 lortzeko, 575 balioari kendu 295.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Gehitu 45x^{2} bi aldeetan.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

63x^{2} lortzeko, konbinatu 18x^{2} eta 45x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 63 balioa a balioarekin, 200 balioa b balioarekin, eta 280 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Egin 200 ber bi.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Egin -4 bider 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Egin -252 bider 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Gehitu 40000 eta -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Atera -30560 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Egin 2 bider 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -200 eta 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Zatitu -200+4i\sqrt{1910} balioa 126 balioarekin.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{1910} ken -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Zatitu -200-4i\sqrt{1910} balioa 126 balioarekin.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(4+x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 25 eta 16+8x+x^{2} biderkatzeko.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 7 eta 5-x biderkatzeko.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 35-7x eta 5+x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

575 lortzeko, gehitu 400 eta 175.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

18x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -7x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Gehitu 45x^{2} bi aldeetan.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

63x^{2} lortzeko, konbinatu 18x^{2} eta 45x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Kendu 575 bi aldeetatik.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

-280 lortzeko, 295 balioari kendu 575.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 63 balioarekin.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

63 balioarekin zatituz gero, 63 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Murriztu \frac{-280}{63} zatikia gai txikienera, 7 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Zatitu \frac{200}{63} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{100}{63} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{100}{63} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Egin \frac{100}{63} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Gehitu -\frac{40}{9} eta \frac{10000}{3969} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Atera x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Egin ken \frac{100}{63} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$