Resolver 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 24x^{2}+ax+bx+21 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 504 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

-65 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-56 b=-9$$

Berridatzi 24x^{2}-65x+21 honela: \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Deskonposatu 8x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Deskonposatu 3x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-7=0 eta 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 24 balioa a balioarekin, -65 balioa b balioarekin, eta 21 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Egin -65 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Egin -4 bider 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Egin -96 bider 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Gehitu 4225 eta -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Atera 2209 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 zenbakiaren aurkakoa 65 da.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Egin 2 bider 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Orain, ebatzi x=\frac{65±47}{48} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 65 eta 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Murriztu \frac{112}{48} zatikia gai txikienera, 16 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{7}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{65±47}{48} ekuazioa ± minus denean. Egin 47 ken 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Murriztu \frac{18}{48} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24 balioarekin zatituz gero, 24 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Murriztu \frac{-21}{24} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Zatitu -\frac{65}{24} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{65}{48} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{65}{48} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Egin -\frac{65}{48} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Gehitu -\frac{7}{8} eta \frac{4225}{2304} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Atera x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Gehitu \frac{65}{48} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$