Resolver 24a^2-60a+352=0

$$24 a ^ { 2 } - 60 a + 352 = 0$$

Ebatzi: a

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1.25+3.619967771i$$

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1.25-3.619967771i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 24 balioa a balioarekin, -60 balioa b balioarekin, eta 352 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Egin -60 ber bi.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Egin -4 bider 24.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-96\times 352}}{2\times 24}$$

Egin -96 bider 352.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-33792}}{2\times 24}$$

Gehitu 3600 eta -33792.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{-30192}}{2\times 24}$$

Atera -30192 balioaren erro karratua.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

-60 zenbakiaren aurkakoa 60 da.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Egin 2 bider 24.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}$$

Orain, ebatzi a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 60 eta 4i\sqrt{1887}.

$$a=\frac{60+4\sqrt{1887}i}{48}$$

Zatitu 60+4i\sqrt{1887} balioa 48 balioarekin.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Orain, ebatzi a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{1887} ken 60.

$$a=\frac{-4\sqrt{1887}i+60}{48}$$

Zatitu 60-4i\sqrt{1887} balioa 48 balioarekin.

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Egin ken 352 ekuazioaren bi aldeetan.

$$24a^{2}-60a+352-352=-352$$

352 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$24a^{2}-60a=-352$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$\frac{24a^{2}-60a}{24}=-\frac{352}{24}$$

24 balioarekin zatituz gero, 24 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a^{2}+\left(-\frac{60}{24}\right)a=-\frac{352}{24}$$

Murriztu \frac{-60}{24} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{352}{24}$$

Murriztu \frac{-352}{24} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{44}{3}$$

Zatitu -\frac{5}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{44}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{44}{3}+\frac{25}{16}$$

Gehitu -\frac{44}{3} eta \frac{25}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{629}{48}$$

Atera a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{629}{48}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{629}{48}}$$

Sinplifikatu.

$$a-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{1887}i}{12} a-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$