Resolver 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0.02739726+0.13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0.02739726-0.13234134i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 219 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Egin -4 bider 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Egin -876 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Gehitu 144 eta -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Atera -3360 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Egin 2 bider 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Zatitu 12+4i\sqrt{210} balioa 438 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{210} ken 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Zatitu 12-4i\sqrt{210} balioa 438 balioarekin.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 219 balioarekin.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

219 balioarekin zatituz gero, 219 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Murriztu \frac{-12}{219} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Zatitu -\frac{4}{73} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{73} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{73} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{73} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Gehitu -\frac{4}{219} eta \frac{4}{5329} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Gehitu \frac{2}{73} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$