Resolver 21k^2+28k+4=0

$$21 k ^ { 2 } + 28 k + 4 = 0$$

Ebatzi: k

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}\approx -0.162714036$$

$$k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}\approx -1.170619297$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$21k^{2}+28k+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 21 balioa a balioarekin, 28 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 21\times 4}}{2\times 21}$$

Egin 28 ber bi.

$$k=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 21\times 4}}{2\times 21}$$

Egin -4 bider 21.

$$k=\frac{-28±\sqrt{784-84\times 4}}{2\times 21}$$

Egin -84 bider 4.

$$k=\frac{-28±\sqrt{784-336}}{2\times 21}$$

Gehitu 784 eta -336.

$$k=\frac{-28±\sqrt{448}}{2\times 21}$$

Atera 448 balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{2\times 21}$$

Egin 2 bider 21.

$$k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{42}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{42} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -28 eta 8\sqrt{7}.

$$k=\frac{8\sqrt{7}-28}{42}$$

Zatitu -28+8\sqrt{7} balioa 42 balioarekin.

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{42} ekuazioa ± minus denean. Egin 8\sqrt{7} ken -28.

$$k=\frac{-8\sqrt{7}-28}{42}$$

Zatitu -28-8\sqrt{7} balioa 42 balioarekin.

$$k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3} k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$21k^{2}+28k+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$21k^{2}+28k+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$21k^{2}+28k=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$\frac{21k^{2}+28k}{21}=-\frac{4}{21}$$

21 balioarekin zatituz gero, 21 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{28}{21}k=-\frac{4}{21}$$

Murriztu \frac{28}{21} zatikia gai txikienera, 7 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k=-\frac{4}{21}$$

Zatitu \frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{21}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}=-\frac{4}{21}+\frac{4}{9}$$

Gehitu -\frac{4}{21} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}=\frac{16}{63}$$

Atera k^{2}+\frac{4}{3}k+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{63}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{63}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{21} k+\frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{21}$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3} k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$