Resolver 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 20 balioa a balioarekin, -28 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Egin -28 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Egin -4 bider 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Egin -80 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Gehitu 784 eta 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Atera 864 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

-28 zenbakiaren aurkakoa 28 da.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Egin 2 bider 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Orain, ebatzi x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 28 eta 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Zatitu 28+12\sqrt{6} balioa 40 balioarekin.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} ekuazioa ± minus denean. Egin 12\sqrt{6} ken 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Zatitu 28-12\sqrt{6} balioa 40 balioarekin.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

20 balioarekin zatituz gero, 20 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Murriztu \frac{-28}{20} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Zatitu -\frac{7}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Gehitu \frac{1}{20} eta \frac{49}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Gehitu \frac{7}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$