Resolver 20a^2-14a+8=0

$$20 a ^ { 2 } - 14 a + 8 = 0$$

Ebatzi: a

$$a=\frac{7+\sqrt{111}i}{20}\approx 0.35+0.526782688i$$

$$a=\frac{-\sqrt{111}i+7}{20}\approx 0.35-0.526782688i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$20a^{2}-14a+8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 20 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta 8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 20\times 8}}{2\times 20}$$

Egin -14 ber bi.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 20\times 8}}{2\times 20}$$

Egin -4 bider 20.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-80\times 8}}{2\times 20}$$

Egin -80 bider 8.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-640}}{2\times 20}$$

Gehitu 196 eta -640.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-444}}{2\times 20}$$

Atera -444 balioaren erro karratua.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{111}i}{2\times 20}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$a=\frac{14±2\sqrt{111}i}{2\times 20}$$

Egin 2 bider 20.

$$a=\frac{14±2\sqrt{111}i}{40}$$

Orain, ebatzi a=\frac{14±2\sqrt{111}i}{40} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 2i\sqrt{111}.

$$a=\frac{14+2\sqrt{111}i}{40}$$

Zatitu 14+2i\sqrt{111} balioa 40 balioarekin.

$$a=\frac{7+\sqrt{111}i}{20}$$

Orain, ebatzi a=\frac{14±2\sqrt{111}i}{40} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{111} ken 14.

$$a=\frac{-2\sqrt{111}i+14}{40}$$

Zatitu 14-2i\sqrt{111} balioa 40 balioarekin.

$$a=\frac{-\sqrt{111}i+7}{20}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$a=\frac{7+\sqrt{111}i}{20} a=\frac{-\sqrt{111}i+7}{20}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$20a^{2}-14a+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20a^{2}-14a+8-8=-8$$

8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$20a^{2}-14a=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$\frac{20a^{2}-14a}{20}=-\frac{8}{20}$$

20 balioarekin zatituz gero, 20 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{20}\right)a=-\frac{8}{20}$$

Murriztu \frac{-14}{20} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$a^{2}-\frac{7}{10}a=-\frac{8}{20}$$

Murriztu \frac{-8}{20} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$a^{2}-\frac{7}{10}a=-\frac{2}{5}$$

Zatitu -\frac{7}{10} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{20} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{20} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$a^{2}-\frac{7}{10}a+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{20} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$a^{2}-\frac{7}{10}a+\frac{49}{400}=-\frac{2}{5}+\frac{49}{400}$$

Gehitu -\frac{2}{5} eta \frac{49}{400} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a^{2}-\frac{7}{10}a+\frac{49}{400}=-\frac{111}{400}$$

Atera a^{2}-\frac{7}{10}a+\frac{49}{400} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(a-\frac{7}{20}\right)^{2}=-\frac{111}{400}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{400}}$$

Sinplifikatu.

$$a-\frac{7}{20}=\frac{\sqrt{111}i}{20} a-\frac{7}{20}=-\frac{\sqrt{111}i}{20}$$

Gehitu \frac{7}{20} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{7+\sqrt{111}i}{20} a=\frac{-\sqrt{111}i+7}{20}$$