Resolver 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 20x^{2}+ax+bx-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=4$$

Berridatzi 20x^{2}-x-1 honela: \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Deskonposatu 5x 20x^{2}-5x taldean.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Deskonposatu 4x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4x-1=0 eta 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 20 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Egin -4 bider 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Egin -80 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Gehitu 1 eta 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Atera 81 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Egin 2 bider 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±9}{40} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Murriztu \frac{10}{40} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±9}{40} ekuazioa ± minus denean. Egin 9 ken 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Murriztu \frac{-8}{40} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20 balioarekin zatituz gero, 20 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Zatitu -\frac{1}{20} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{40} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{40} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{40} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Gehitu \frac{1}{20} eta \frac{1}{1600} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Gehitu \frac{1}{40} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$