Resolver 2z^2-21z-36=0

$$2 z ^ { 2 } - 21 z - 36 = 0$$

Ebatzi: z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$z=12$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2z^{2}+az+bz-36 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-21 ab=2\left(-36\right)=-72$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -72 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

-21 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-24 b=3$$

Berridatzi 2z^{2}-21z-36 honela: \left(2z^{2}-24z\right)+\left(3z-36\right).

$$\left(2z^{2}-24z\right)+\left(3z-36\right)$$

Deskonposatu 2z lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2z\left(z-12\right)+3\left(z-12\right)$$

Deskonposatu z-12 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(z-12\right)\left(2z+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi z-12=0 eta 2z+3=0.

$$z=12 z=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2z^{2}-21z-36=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -21 balioa b balioarekin, eta -36 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Egin -21 ber bi.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -36.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 2}$$

Gehitu 441 eta 288.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Atera 729 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 2}$$

-21 zenbakiaren aurkakoa 21 da.

$$z=\frac{21±27}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$z=\frac{21±27}{4}$$

Orain, ebatzi z=\frac{21±27}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 21 eta 27.

$$z=\frac{48}{4}$$

Zatitu 48 balioa 4 balioarekin.

$$z=12$$

Orain, ebatzi z=\frac{21±27}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 27 ken 21.

$$z=-\frac{6}{4}$$

Murriztu \frac{-6}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=12 z=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2z^{2}-21z-36=0$$

Gehitu 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2z^{2}-21z-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

-36 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2z^{2}-21z=-\left(-36\right)$$

Egin -36 ken 0.

$$2z^{2}-21z=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2z^{2}-21z}{2}=\frac{36}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$z^{2}-\frac{21}{2}z=\frac{36}{2}$$

Zatitu 36 balioa 2 balioarekin.

$$z^{2}-\frac{21}{2}z=18$$

Zatitu -\frac{21}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{21}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{21}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}-\frac{21}{2}z+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{21}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z^{2}-\frac{21}{2}z+\frac{441}{16}=18+\frac{441}{16}$$

Gehitu 18 eta \frac{441}{16}.

$$z^{2}-\frac{21}{2}z+\frac{441}{16}=\frac{729}{16}$$

Atera z^{2}-\frac{21}{2}z+\frac{441}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z-\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z-\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$z-\frac{21}{4}=\frac{27}{4} z-\frac{21}{4}=-\frac{27}{4}$$

Gehitu \frac{21}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=12 z=-\frac{3}{2}$$