Resolver 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Ebatzi: z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0.5+1.5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0.5-1.5i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Egin -2 ber bi.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Atera -36 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Orain, ebatzi z=\frac{2±6i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Zatitu 2+6i balioa 4 balioarekin.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Orain, ebatzi z=\frac{2±6i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 6i ken 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Zatitu 2-6i balioa 4 balioarekin.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Zatitu -2 balioa 2 balioarekin.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Atera z^{2}-z+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$