Resolver 2y-3x=-22;2x+3y=32

$$2 y - 3 x = - 22 ; 2 x + 3 y = 32$$

Ebatzi: y, x

$$x=10$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-3x=-22$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=3x-22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-22\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3x-22.

$$y=\frac{3}{2}x-11$$

Ordeztu \frac{3x}{2}-11 balioa y balioarekin beste ekuazioan (3y+2x=32).

$$3\left(\frac{3}{2}x-11\right)+2x=32$$

Egin 3 bider \frac{3x}{2}-11.

$$\frac{9}{2}x-33+2x=32$$

Gehitu \frac{9x}{2} eta 2x.

$$\frac{13}{2}x-33=32$$

Gehitu 33 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}x=65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin y=\frac{3}{2}x-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{2}\times 10-11$$

Egin \frac{3}{2} bider 10.

$$y=15-11$$

Gehitu -11 eta 15.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-22\right)+\frac{3}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-22\right)+\frac{2}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=4,x=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

2y eta 3y berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2y+3\left(-3\right)x=3\left(-22\right),2\times 3y+2\times 2x=2\times 32$$

Sinplifikatu.

$$6y-9x=-66,6y+4x=64$$

Egin 6y+4x=64 ken 6y-9x=-66 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y-9x-4x=-66-64$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9x-4x=-66-64$$

Gehitu -9x eta -4x.

$$-13x=-66-64$$

Gehitu -66 eta -64.

$$-13x=-130$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin 3y+2x=32 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3y+2\times 10=32$$

Egin 2 bider 10.

$$3y+20=32$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=10$$