Resolver 2y^2-y+2=0

$$2 y ^ { 2 } - y + 2 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}\approx 0.25+0.968245837i$$

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}\approx 0.25-0.968245837i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times 2}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16}}{2\times 2}$$

Gehitu 1 eta -16.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Atera -15 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta i\sqrt{15}.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{15} ken 1.

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}-y+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2y^{2}-y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2y^{2}-y}{2}=-\frac{2}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{2}$$

Zatitu -2 balioa 2 balioarekin.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-1$$

Zatitu -\frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{16}.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Atera y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} y-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$