Resolver 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x-3y=-5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{3y-5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+ky-2=0).

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

Egin 4 bider \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+ky-2=0$$

Gehitu 6y eta ky.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

Gehitu -10 eta -2.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(k+6\right)y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6+k balioarekin.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Ordeztu \frac{12}{6+k} y balioarekin x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{12}{6+k}.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{18}{6+k}.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

Egin 8x+2ky-4=0 ken 8x-12y+20=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

Gehitu -12y eta -2ky.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

Gehitu 20 eta 4.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12-2k balioarekin.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

Ordeztu \frac{12}{6+k} y balioarekin 4x+ky-2=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

Egin k bider \frac{12}{6+k}.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

Gehitu \frac{12k}{6+k} eta -2.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

Egin ken \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$