Resolver 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x-3y=-10$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Ordeztu \frac{3y}{2}-5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y+4=0).

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Egin 5 bider \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Gehitu \frac{15y}{2} eta -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Gehitu -25 eta 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{42}{13}$$

Ordeztu \frac{42}{13} y balioarekin x=\frac{3}{2}y-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{42}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Gehitu -5 eta \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Sinplifikatu.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Egin 10x-2y+8=0 ken 10x-15y+50=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Gehitu -15y eta 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Gehitu 50 eta -8.

$$-13y+42=0$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-13y=-42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=\frac{42}{13}$$

Ordeztu \frac{42}{13} y balioarekin 5x-y+4=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Gehitu -\frac{42}{13} eta 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Egin ken \frac{10}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$