Resolver 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3.850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0.649218941$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Gehitu 81 eta -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{41} ken 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Zatitu -\frac{9}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{81}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Gehitu \frac{9}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$